Giả sử u {\displaystyle u} là một hàm số trong không gian Lebesgue L 1 ( [ a , b ] ) {\displaystyle L^{1}([a,b])} . Ta nói v {\displaystyle v} trong L 1 ( [ a , b ] ) {\displaystyle L^{1}([a,b])} là một đạo hàm yếu của u {\displaystyle u} nếu,

∫ a b u ( t ) φ ′ ( t ) d t = − ∫ a b v ( t ) φ ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt}

với tất cả các hàm số khả vi có đạo hàm liên tục φ {\displaystyle \varphi } với φ ( a ) = φ ( b ) = 0 {\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0} .

Tổng quát hóa lên không gian n {\displaystyle n} chiều, nếu u {\displaystyle u} và v {\displaystyle v} ở trong không gian L l o c 1 ( U ) {\displaystyle L_{loc}^{1}(U)} của các hàm khả tích địa phương trên một tập mở U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} nào đó, và nếu α {\displaystyle \alpha } là một đa chỉ số, ta nói v {\displaystyle v} là đạo hàm yếu bậc α t h {\displaystyle \alpha ^{th}} của u {\displaystyle u} nếu

∫ U u D α φ = ( − 1 ) | α | ∫ U v φ {\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi }

với tất cả các hàm φ ∈ C c ∞ ( U ) {\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)} , nghĩa là, với tất cả các hàm số khả vi vô hạn φ {\displaystyle \varphi } với giá compact trong U {\displaystyle U} . Nếu u {\displaystyle u} có một đạo hàm yếu, nó thường được viết là D α u {\displaystyle D^{\alpha }u} bởi vì đạo hàm yếu là duy nhất (ít nhất, cho tới một tập hợp với độ đo bằng không, xem bên dưới).